後藤憲一必修問題

\def\ou#1#2#3{\overset{#2}{\underset{#3}{#1}}}\def\os#1#2{\overset{#2}{#1}}\def\diff{\mathrm{d}}\def\biff{\mathrm{b}}\def\D{\mathrm{D}}\def\B{\mathrm{B}}\def\p{\mathrm{p}}\def\pu#1{\underset{#1}{\mathrm{p}}}\def\p{\mathrm{p}}\def\qu#1{\underset{#1}{\mathrm{q}}}\def\G#1#2{\overset{#1}{\underset{#2}{\Gamma}}}\def\abs#1{\left\lvert#1\right\rvert}\def\bra#1{\mathinner{\left\langle{#1}\right|}} \def\ket#1{\mathinner{\left|{#1}\right\rangle}} \def\braket#1#2{\mathinner{\left\langle{#1}\middle|#2\right\rangle}}\def\bbra#1{\mathinner{\left\langle\!\left\langle{#1}\right|\right.}} \def\kket#1{\mathinner{\left.\left|{#1}\right\rangle\!\right\rangle}} \def\bbrakket#1#2{\mathinner{\left\langle\!\left\langle{#1}\middle|#2\right\rangle\!\right\rangle}}\def\l{<}
赤は必修，デフォルトは必修の知識で解けるが編入試験水準超過または問題文の導入による補助知識によって解ける，灰色は編入試験範囲外と実際に解いて独断したものである．
なるべく勉強時間を物理学にかけたくない場合，必修の問題を解くことをお勧めする．
各章，各セクションの見出しは問題の数であり，丸括弧は必修の数である．
力学では4章，5章，電磁気学では2章，5章，9章，11章，12章，13章は範囲外とした．力学の1章は気が向いたらやります．

力学

第1章

§1.

未学習

§2.

未学習　注目：〔3〕で球座標での運動が学習できる

第2章 224問(内必修110問)　質点の力学

§3. 17問(内必修11問)　運動法則・保存則・保存力

自然座標，極座標における運動方程式は基底の定義を知れば覚えなくてよい．
（3.4）の横加速度は間違い

〔1〕
｛1.1｝
〔2〕 §13｛4.3｝より張力や拘束力は基本的に仕事しない
〔3〕 仕事の割合とは仕事率の意味
｛3.1｝ 振動するが一番最初に速度が0になるのはという意味
速度は原点に向かっているため負
｛3.2｝
｛3.3｝
〔4〕 \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=v\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}は覚える
連鎖律である
速度の指数が負の場合，0を代入すると発散する
積分区間の上端の0がないのは間違い
｛4.1｝ 不定積分でなく〔4〕のように積分区間[v_0,\ 0]の定積分で解いてもよい
微分方程式の解法の観点から不定積分のほうが一般に特殊解や積分量を求められるが定積分が使えるときは定積分のほうが早いことが多い
〔5〕 工率とは仕事率の意味
直線運動の場合，仕事率による力はF=\frac{P}{v}
抵抗力のかかる物体に対し一定の力や仕事率を与えたら速度は単調に増加し最終的に最大速度になる
つまりそのとき加速度は0である
これも積分区間[0,\ v]の定積分で解いてもよい
\lnの中身は絶対値であることに注意して絶対値を外し，また\ln a^{-1}=-\ln aによって正の値を返すように式変形するとよい
｛5.1｝ 左辺の間違い
これも積分区間[0,\ \frac{v}{2}]の定積分で解いてもよい
\int\frac{\mathrm{d}x}{x^2+a^2}=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C
｛5.2｝
〔6〕 1次元的経路を通るということは1つの媒介変数で表されるということであり，例えばzをxで積分するにも互いに相関があり定数のように積分できない
保存力であり経路に依存しないため，簡単な原点を始点とする線分を経路に選べばいい
｛6.1｝ 積分区間のRはQの間違い
F_y=ay^3はF_y=ay^2の間違い
｛6.2｝
｛6.3｝ 多変数関数における合成関数の微分であるが，全微分を\mathrm{d}tで割ったとみてもかまわない
｛6.4｝ 連鎖律\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=v\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}を応用していることに注目
§4. 25問(内必修16問)　一様な重力の下での運動

この章の公式は覚えなくてよいが導けるようにする．（4.8）は\frac{1}{\cos^2\alpha}=1+\tan^2\alphaを用い二次方程式の解の公式を用いて導く．図4.2の\frac{v_0^2}{k}は\frac{v_x^0}{k}の間違い．（4.15）の-mgR_yは-mg+R_yの間違い．
この章は解説の行間を埋めて勉強してもよいが式変形の目的を考えるとよい．

〔1〕
｛1.1｝ 地上投射最大到達距離は\sin2\alphaが最大つまり\alpha=\frac{\pi}{4}で1
｛1.2｝ \sqrt{2gh}は力学的エネルギー保存則より
｛1.3｝ 四次方程式は解けなくてよい
（a）第2辺を移項し両辺2乗してから代入するとよい
〔2〕 安全限界放物線は重解の条件であり，頂点で命中するということ
1+\cot^2\theta=\csc^2\thetaであるが，左辺が1より大きいので小さい根は負になり速度が虚数になるため大きい根を選ぶ
\sqrt{\csc^2\theta}は絶対値であるが0\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}を考えているため\csc\theta\geq1であり正であるため外してよい
｛2.1｝ \sin2\alpha=2\cos\alpha\sin\alpha
｛2.2｝ 二次方程式の解の和は，\pmの部分は打ち消され，それ以外は2倍される
｛2.3｝
〔3〕 \cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta=\cos(\alpha+\beta)
\sin\alpha\cos(\alpha+\beta)=\frac{\sin(2\alpha+\beta)-\sin\beta}{2}
脳筋微分極値でもよいが積和変換によって\alphaを1つの関数の引数にすれば，その関数の大小をみればよい
\frac{1-\sin\beta}{\cos^2\beta}=\frac{1-\sin\beta}{1-\sin^2\beta}=\frac{1-\sin\beta}{\{1+\sin\beta\}\{1-\sin\beta\}}=\frac{1}{1+\sin\beta}
\sin\alpha=\cos\alpha\tan\alpha=\frac{\tan\alpha}{\sqrt{1+\tan^2\alpha}}
｛3.1｝
初速は\frac{\sin(\beta-\alpha)}{\sin\beta}v_0の間違い
〔4〕 \ln\cos(\bullet)は\cosの絶対値が1以下であるため逆数の\secに変形して-1倍する
\cos^2\alpha=\frac{1}{1+\tan^2\alpha}より\alpha=\arctan\betaと置けば\cos\arctan\beta=\frac{1}{\sqrt{1+\beta^2}}
問題としては位置による速度の変化を求めればいいため｛4.1｝のようにして最高点の高さを求めて（3）の計算を行えばいい
（1），（2）は難しい
｛4.1｝ 積分区間[v_0,\ 0]の定積分で解いてもよい
｛4.2｝ 積分区間[v_0,\ 0]の定積分で解いてもよい
｛4.3｝ 抵抗は速度と反対方向に働くため速度が変わる毎に注意が必要
上昇積分区間[v_0,\ 0]降下積分区間[0,\ V]の定積分で解いてもよい
降下においてg-kv^2は加速度の-1倍であり加速度は負であるため対数の絶対値は外してよい
｛4.4｝ 解説のような解き方は知らないので斉次な場合を変数分離法で解き定数変化法で非斉次な場合を解けばよい
1/2k+1は\frac{1}{2k+1}の間違い
〔5〕 指数関数の展開e^x=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}，等比級数の展開\frac{1}{1-r}=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty r^n
Lを求めるとき（c）の分母を近似した
難しい
｛5.1｝
｛5.2｝ 対数関数の展開\ln(1-x)=-\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}{n}
｛5.3｝ わたくしなら脳筋二次方程式の解の公式で求める
難しい
｛5.4｝ 分母が0なので\infty
〔6〕 v^{-n-1}\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}\phi}=\frac{1}{-n}\frac{\mathrm{d}v^{-n}}{\mathrm{d}v}\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}\phi}=\frac{1}{-n}\frac{\mathrm{d}v^{-n}}{\mathrm{d}\phi}
定数変化法で解く
\tanhの積分は指数関数表現で置換積分して解ける
\coshのn乗はI_nなどと置き，\cosh\phi=\frac{\mathrm{d}\sinh\phi}{\mathrm{d}\phi}\cosh^{n-1}\phiの部分積分により変形しI_nについて解き積分漸化式の形にする
｛6.1｝ \cosh^2\phi-\sinh^2\phi=1より
\frac{1}{\cosh^2\phi}=1-\tanh^2\phi=1-\sin^2\theta=\cos^2\theta
｛6.2｝ \rho=\abs{\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}\theta}}=-\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\theta}=-v\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\theta}
｛6.3｝
｛6.4｝
§5. 28問(内必修16問)　振動
〔1〕 1回目の近似は\abs{\frac{x}{l_1}}\ll1という条件で平方根内の2次の項を落とし，1と微小量の和の累乗の近似を行った
運動方程式の復元項は糸と鉛直線がなす角がわからないため三角関数の直角三角形による定義を用いた
2回目の近似は第1因子からl_1-l，第2因子からl_1=\frac{a}{\sin\alpha}を使って\cos\alphaを出しているが第3因子で-1乗の1と微小量の和の累乗の近似を行った
3回目の近似は2次の項を落とした
単振動の運動方程式は\ddot{x}=-\omega_0^2x
｛1.1｝
｛1.2｝ 弾性率とは，ばね定数とは異なりひずみに対する比例定数なので元の長さで割る
\frac{\mathrm{DP}}{\mathrm{BP}}は\frac{1}{2}\left(1-\frac{3\sqrt{3}x}{4a}\right)の間違い
よって
F=-\left\{\frac{\lambda}{l}+\frac{2\lambda'}{l'}-\frac{3\sqrt{3}\lambda'}{4a}\right\}x,\\T=2\pi\sqrt{m\left/\left\{\frac{\lambda}{l}+\frac{2\lambda'}{l'}-\frac{3\sqrt{3}\lambda'}{4a}\right\}\right.}
〔2〕 伸びたときだけというのは自然長からという意味
B'を中心とした振動をするがBから上は復元力がかからないため鉛直投射になる
t_3は放物線の対称性よりAからBまでの落下時間を2倍すればよい
B'つまり釣り合いの位置からの変位であるため重力の項はない
t_1はB'CB'，t_2はB'BとBB'，t_3はBABと往復するのにかかる時間である
｛2.1｝ フックの法則に従う運動範囲でないと単振動しない
｛2.2｝ 鉛直振動は釣り合いの位置からの変位を考えているため2つの復元力だけでよい
水平振動の復元力は三角関数の直角三角形の定義とみればいい
〔3〕 微小振動の理論より\left.\frac{\partial^2U}{\partial x\partial x}\right\rvert_{x=x_0}つまりU''(x_0)を復元係数つまりばね定数とみれば計算しなくてよい(振幅はばねの位置エネルギーを考え，運動エネルギーが0のときの\xi)
x_0周りのテイラー展開によって近似した
1次の項は平衡点つまり微分が0なので0
｛3.1｝ （1）は言い換えると無限遠で運動エネルギーを持たない条件であり無限遠のポテンシャルエネルギーは0なので力学エネルギーが負であることが条件
ポテンシャルのグラフは1階微分と2階微分により極値と凹凸を求める
x-x_2,\ Eは負であることに注意
積分はX=(x-x_1)(x_2-x)とするとx\mathrm{d}x=-\frac{1}{2}\mathrm{d}X+\frac{x_1+x_2}{2}\mathrm{d}xと置換し，第1項は積分区間の置換から明らかに0，第2項はX=-\left(x-\frac{x_1+x_2}{2}\right)^2+\left(\frac{x_2-x_1}{2}\right)^2と変形して\arcsinになる積分公式を使う
｛3.2｝
｛3.3｝
〔4〕
｛4.1｝
｛4.2｝ 畳み込み(質量あたりの位置)
｛4.3｝ 線形性である
〔5〕
｛5.1｝
｛5.2｝
｛5.3｝
〔6〕 畳み込みで解け
x(t)=\int_0^t\frac{1}{m\omega_0}\sin\omega_0(t-\tau)F(\tau)\mathrm{d}\tau
｛6.1｝ 畳み込みで解け
積和の公式は加法定理から
T\l tのときは（ii）の途中式を\lbrack\cdots\rbrack^T_0に変えて計算すればよい
｛6.2｝ 畳み込みで解け
〔7〕
｛7.1｝
〔8〕 不減衰変位入力振動系である
m\ddot{x}+c\{\dot{x}-\dot{x}'\}+k\{x-x'\}=0のcが0
yのように釣り合いの位置からの変位を用いればよい
｛8.1｝
〔9〕
｛9.1｝
〔10〕
§6. 50問(内必修16問)　中心力
〔1〕 単位ベクトル\frac{\mathbf{r}}{r}=\frac{(x-x')\mathbf{e}_x+(y-y')\mathbf{e}_y+(z-z')\mathbf{e}_z}{\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2}}によって中心力はf(r)\frac{\mathbf{r}}{r}と表せ，その成分はF_x=f(r)\frac{\mathbf{r}}{r}\cdot\mathbf{e}_x=f(r)\frac{x-x'}{r}などとなる
｛1.1｝ 積分区間の下端はポテンシャルが0になる無限遠点を考えればいい
引力は無限遠点が最大のポテンシャルであるため有限遠点では負となり斥力はその逆である
〔2〕 ニュートン重力のポアソン方程式\nabla^2\phi=4\pi G\rhoから考えるとよい
重力加速度の場は\mathbf{g}=-\nabla\phiであり球殻と同心の半径zの球の領域Vでガウスの発散定理を用いて解くと，球外のときは\Delta M:=\int_\mathrm{V}\rho\mathrm{d}Vとしてg_z=-\frac{G\Delta M}{z^2}となるためF_z=mg_z=-\frac{Gm\Delta M}{z^2}となり，球内のときは領域内に質量がないため直ちに0
ポアソン方程式による解法は領域の境界面の法線方向成分しかわからないため法線方向を向かないような場合は注意が必要
｛2.1｝
〔3〕 中心力運動は平面運動になるため極座標系での運動方程式が使える
可動区間は運動エネルギーが0以上の区間である
｛3.1｝
｛3.2｝ 二体問題の相対運動方程式を用いる
運動方程式を積分したものは換算質量におけるエネルギー保存則になっている
解説の置換積分は難しいためu=\sqrt{a-r},\ \sqrt{\frac{1}{r}-\frac{1}{a}}などを推奨する
〔4〕 h:=r^2\dot\thetaであるが，これより\dot\theta=\frac{h}{r^2}と計算すればよい
\sin^2\theta=1-\cos^2\theta
｛4.1｝
｛4.2｝ m\left\{\ddot{r}-r\dot\theta^2\right\}=f(r)のrにaを入れ，円運動の角速度と速度の関係v_0=a\dot\thetaを用いればよい
｛4.3｝
｛4.4｝ 中心力は\frac{\mathbf{r}}{r}=\mathbf{e}_rを向き(反発を正)，抵抗力は-\frac{\dot{\mathbf{r}}}{v}を向く
速度の定義よりパラメータの時間微分と基底\mathbf{e}_r,\ r\mathbf{e}_\thetaの線形結合なので\dot{\mathbf{r}}=\dot{r}\mathbf{e}_r+\dot{\theta}r\mathbf{e}_\thetaとなり，その絶対値はv=\sqrt{\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2}で得る
h=r^2\dot\thetaは保存されないため偏角方向の運動方程式も必要でありそれぞれの方向の運動方程式はベクトルの運動方程式の両辺をそれぞれの基底と内積をとって得る
｛4.5｝
｛4.6｝
｛4.7｝ 八の字になる
〔5〕
〔6〕
｛6.1｝
〔7〕
｛7.1｝
｛7.2｝
〔8〕 近似的に球対称であるため半径xの球内の質量を中心に置いた中心力に近似的に等しい
｛8.1｝
〔9〕
｛9.1｝
〔10〕
｛10.1} 不等式の等式は無限遠点で速度が0
｛10.2｝
｛10.3｝
｛10.4｝
｛10.5｝
〔11〕
｛11.1｝
｛11.2｝
｛11.3｝
｛11.4｝
｛11.5｝
｛11.6｝
〔12〕
｛12.1｝
｛12.2｝
｛12.3｝
〔13〕
｛13.1｝
｛13.2｝
〔14〕
｛14.1｝
〔15〕
｛15.1｝
｛15.2｝
§7. 43問(内必修19問)　束縛運動
〔1〕
｛1.1｝
〔2〕 束縛領域は円板
｛2.1｝ 束縛領域は円周
｛2.2｝ 反力が0のときの運動方程式と力学的エネルギーの保存則の連立方程式で離れるときのv_1^2と\cos\theta_1を求める
離れる位置を原点として中心の座標を求め，放物運動する質点の時間に対する座標の2式から時間を消去し座標を入れて解く
座標を入れてからなるべく簡単にしてv_1^2と\cos\theta_1の解を入れてもいいがv_1^2と\cos\theta_1の関係で片方を消去してから入れたほうが早い
二重混合は
\sqrt{2+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{4+2\sqrt{3}}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{(1+\sqrt{3})^2}}{\sqrt{2}}=\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}
｛2.3｝
｛2.4｝
〔3〕
｛3.1｝
｛3.2｝ 糸は引っ張ると力点と固定点の間のすべての点で張力と反力が釣り合った状態になる
〔4〕
｛4.1｝ 曲率半径\rho=\frac{(1+y'^2)^{\frac{3}{2}}}{y''}
法線方向運動方程式F_t=m\frac{v^2}{\rho}
｛4.2｝ ポテンシャルはU=mg\frac{x^2}{4a}で停留点はx=0なのでばね定数はU''(0)=\frac{mg}{2a}でT=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}=2\pi\sqrt{\frac{2a}{g}}
｛4.3｝
〔5〕
｛5.1｝
｛5.2｝
｛5.3｝
〔6〕
｛6.1｝ 2階非斉次線形微分方程式
｛6.2｝ おもろい
〔7〕
｛7.1｝
〔8〕
｛8.1｝
〔9〕 （1），（2）は鉛直及び水平方向に分解し三平方の定理を用いればよい
（3）の意味は｛9.2｝参照
｛9.1｝ 読み物
｛9.2｝ 読み物
｛9.3｝ 読み物
〔10〕
｛10.1｝
〔11〕
｛11.1｝
｛11.2｝
〔12〕 円筒座標系でエネルギー保存則を立てるわけだが高さzについて計算するため，拘束条件r=z\tan\alphaと基準平面(xy面)における速度モーメント一定r^2\dot{\phi}=hによってzの式にする
拘束条件は\sqrt{r^2+z^2}\sin\alpha=r，\sqrt{r^2+z^2}\cos\alpha=zより得られる
速度モーメント一定は抗力(重力の円錐垂直成分の負)の基準平面への射影が原点を向いているため，基準平面への射影は中心力による運動と考えることができる
hは初期のエネルギーの式によって計算できる
\dot{z}=0のときのzを求めて最下点の高さを求めるが初速度が水平方向のためz=z_0のときを含み，z-z_0で割った商を整式の除算の筆算などによって計算するとよい
｛12.1｝ 拘束条件はz=ar^2
〔13〕
｛13.1｝
｛13.2｝
〔14〕
｛14.1｝
｛14.2｝ \ln\abs{x+\sqrt{x^2+A}}の積分で解いてもよい
積分区間s\in[0,\ 2\pi a]，v\in[v_0,\ 0]の定積分で解いてもよい
答えはv_0=\sqrt{ag\sinh(4\pi\mu)}の間違い
｛14.3｝ おそらく\mu=\tan\lambdaの間違い　整理は知らん
§8. 54問(内必修32問)　相対運動

（8.7b）第3項にドットがないのは間違い

〔1〕
｛1.1｝
〔2〕 解説の1/\cos\thetaの積分は§7. 〔14〕参照
普通に積分してもよいがどちらも0<\theta<\pi/2であることに注意
｛2.1｝ \frac{\pi}{2}の値というより厳密には下側極限である
｛2.2｝ （6.15）参照
｛2.3｝
｛2.4｝
〔3〕 座標もしくは時間はより簡単に
\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a\\vt\end{pmatrix}
ととっても一般性を欠かない(このとき原点は回転軸上にとっているが，経路は回転軸を通るとは限らないのでx'は任意定数でおく必要がある)
また(x,\ y)のx',\ y'に対する初期位相\alphaも0となるように座標もしくは時間をとると簡単になり，回転行列を用いて
\begin{pmatrix}\cos\omega t&-\sin\omega t\\\sin\omega t&\cos\omega t\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}
とすると逆行列によって簡単に求めることができる(点が能動的に回転しているのではなく，座標変換によって受動的に回転しているため座標を時計回りに回転させるのは点を能動的に反時計回りに回転させる回転行列と同じである)
｛3.1｝
｛3.2｝
〔4〕
｛4.1｝
｛4.2｝
｛4.3｝
〔5〕
｛5.1｝
｛5.2｝
〔6〕
｛6.1｝
｛6.2｝
｛6.3｝
｛6.4｝
〔7〕
｛7.1｝
｛7.2｝ （2）は\thetaの定義域が系の設定上[-\pi/2,\ \pi/2]でありf(\theta)はその定義域で外形をみる
まず定義域の境界の値，\cotは0で定義できないため片側極限をそれぞれ求め，次にf(\theta)を微分して傾きの正負をみるとよい
〔8〕
｛8.1｝ （3.4）に間違いがあるので注意
｛8.2｝ Coriolisの力は速度と角速度の外積方向に働く
〔9〕 zをxで微分して傾きを求め接線方向の力のつり合いでやってもよい
しかし微小振動におけるポテンシャルの2階微分のばね定数とのアナロジーを用いると周期は簡単に求まる
｛9.1｝ 一般的に-\frac{\diff U}{\diff x}は\diff x方向を正とする力
安定の場合，復元力とみなせる
中性とは等速運動をする状態
｛9.2｝
〔10〕 9のようにやってもよいが面倒
円の束縛運動は角による記述を狙うとよい
近似は加法定理を使ってから
｛10.1｝ 小さい弧のほうにも条件によっては平衡点がある
｛10.2｝ お洒落正弦定理おk
｛10.3｝
｛10.4｝
〔11〕 Coriolisの力は仕事をしない
｛11.1｝
｛11.2｝

飽きた

§9. 7問　荷電粒子の運動

Coulomb力とLorentz力がわかっていれば，「へー，一様磁場中の電荷って円運動するんだ」程度でいいんじゃないでしょうか

第3章 358問(内必修?問)

§10. 70問(内必修?問)　質点系の運動
〔1〕 2剛体には拘束条件があり，例えば斜面の頂点からの距離をそれぞれの座標とすると，その和は糸の長さで定数である
よって加速度は符号違いで等しくなる(どちらを正にしてもよい)
｛1.1｝ 垂直抗力や摩擦力の作用点は剛体と接する面にあるが，その位置は静止状態や並進運動状態の場合，力のモーメントが釣り合う位置にある
この問題の場合，Tを大きくすると(mを大きくすると)垂直抗力と動摩擦力の作用点の位置はどんどんA点に近づき，重なると倒れる
そのためA点周りの力のモーメントの釣り合いの式に垂直抗力と動摩擦力は出てこない(動摩擦力のモーメントは常に0)
重力によるA点周りの力のモーメントは
(-b\mathbf{e}_x+a\mathbf{e}_y)\times(-Mg\sin\theta\mathbf{e}_x-Mg\cos\theta\mathbf{e}_y)
慣性力の作用点は重心
｛1.2｝ エネルギー保存則
〔2〕 作用反作用によって板と人の間の内力は打ち消しあうため，それぞれの運動方程式を足した
｛2.1｝ この場合，最終的に元の位置にもどっていればいいので途中，板は動いてよい
｛2.2｝ 板は反対に動くので負になる
〔3〕 （1）難しいこと言っているがこの場合，エネルギーの保存則と等価である
（2）mg=2mg\frac{h}{h^2+a^2}でやった
（3）近似の仕方が違っても角周波数や周期は同じになる
定数項があるが普通の単振動の式でも平衡状態を基準としない位置を用いると定数項がでる
｛3.1｝ 丁寧に計算した勢からは反感を買う近似
｛3.2｝ 運動量保存則などといっているが水平方向の運動方程式を時間積分したとみてよい
｛3.3｝ やっていることは全問と同じ
〔4〕 読み物
\dot{r}をかけて積分とあるがエネルギー保存則である
｛4.1｝ 読み物
質量中心はb=\frac{aM+0m}{M+m}でそこに集まって運動したときの運動量は\{M+m\}v_1=mv_0+M0
｛4.2｝ 解説と問題の端から静かに落とすというのが，A，B逆なのは間違い
解説でいうAはt=0でv_1であるが質量中心系からみると\frac{v_1}{2}であるため角速度は最後のようになる
〔5〕 Rは内力なので質点系の運動方程式では相殺する
｛5.1｝
｛5.2｝
｛5.3｝ 机からの抗力は外力である
〔6〕 読み物
\displaystyle_{k=0}^{n-1}r^k=\frac{1-r^n}{1-r}
｛6.1｝
｛6.2｝
｛6.3｝
§11. 17問(内必修?問)

未学習

§12. 70問(内必修?問)

未学習

§13. 51問(内必修?問)

未学習

§14. 51問(内必修?問)

未学習

§15. 62問(内必修?問))

未学習

§16. 37問(内必修?問)

未学習

電磁気学

第1章 67問(内必修41問)　静電界I：真空中の静電界

§1. 25問(内必修22問)　真空中の電荷分布による静電界
〔1〕 （2）は拡大係数行列を使うとランクが低いことが明らかで，行基本変形後，連立方程式に戻しq_2を任意定数と置いて解くとよい
｛1.1｝ 張力の成分を含まないように糸に垂直な方向を考える
｛1.2｝ 三角関数の三角比による定義を用いる
\cosは三角関数の基本相互関係を用いればよい
｛1.3｝ 符号に注意
〔2〕 距離xや電場は符号付としてもよい(（1）は右向きの電解の強さを正にすると両電荷の中間では負になる)
（1）は位置によって電場の求め方が異なる
｛2.1｝
〔3〕 \mathbf{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\displaystyle\sum_{i=1}^n\frac{q_i}{r_i^3}\mathbf{r}_i
\mathbf{F}=q\mathbf{E}
\mathbf{r}_i:=(x-x_i,\ y-y_i,\ z-z_i)
r_i:=\abs{\mathbf{r}_i}
｛3.1｝
｛3.2｝
〔4〕 連続的電荷分布の電位は分布領域で積分すればよい
電場も求められる
｛4.1｝
｛4.2｝
｛4.3｝ r_1,\ r_2の近似はA，Bから直線POに垂直に線を下ろしてできる直角三角形における三平方の定理
r_1=\sqrt{\left(r-\frac{d}{2}\cos\theta\right)^2+\left(\frac{d}{2}\sin\theta\right)^2}
r_2=\sqrt{\left(r+\frac{d}{2}\cos\theta\right)^2+\left(\frac{d}{2}\sin\theta\right)^2}
をr\gg dとして導かれる
\ln(1-x)\approx-x
〔5〕
｛5.1｝
｛5.2｝
〔6〕
｛6.1｝ 読み物
｛6.2｝ よくわからん
〔7〕
｛7.1｝ 四極子の場合，2次近似までしないと0になる
〔8〕
｛8.1｝
〔9〕
〔10〕
§2. 42問(内必修19問)　電気力線とGaussの定理
〔11〕 閉曲面は電気力線が斜めに交わらないように柱状のものを考える
｛11.1｝
｛11.2｝ 静電状態では，導体内部の電場，電位差は0である
もし存在するなら直ちに電荷が流れる
中間の電場が\sigma_2'から出るものを考えていないのは間違い
〔12〕
｛12.1｝
｛12.2｝
〔13〕 閉曲面は電気力線が斜めに交わらないように円筒状のものを考える
｛13.1｝
〔14〕
｛14.1｝
｛14.2｝
｛14.3｝ 接地すると導体の電位が0になる
〔15〕
〔16〕
｛16.1｝
｛16.2｝
｛16.3｝
｛16.4｝
〔17〕 読み物
｛17.1｝
｛17.2｝ 薄肉の圧力と同じ求め方
〔18〕 全球との立体角の比\frac{\omega}{4\pi}
｛18.1｝
｛18.2｝
｛18.3｝
〔19〕
｛19.1｝
〔20〕
｛20.1｝
｛20.2｝
〔21〕
｛21.1｝
｛21.2｝
〔22〕
｛22.1｝
｛22.2｝
〔23〕
〔24〕
｛24.1｝
〔25〕
｛25.1｝
〔26〕

第3章 87問(内必修?問)

§1. 57問(内必修?問)

未学習

§2. 28問(内必修?問)

未学習

§3. 2問(内必修?問)

未学習

第4章 124問(内必修?問)

§1. 55問(内必修?問)

未学習

§2. 15問(内必修?問)

未学習

§3. 54問(内必修?問)

未学習

第6章 79問(内必修?問)

§1. 45問(内必修?問)

未学習

§2. 34問(内必修?問)

未学習

第7章

§1.

未学習

§2.

未学習

§3.

未学習

第8章

§1.

未学習

§2.

未学習

§3.

未学習

§4.

未学習

§5.

未学習

第10章

§1.

未学習

§2.

未学習

§3.

未学習