材力太郎2

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※接頭辞に注意
c=10^{-2},\ m=10^{-3}
※xは片持ち梁は左方向，単純支持梁は右方向，yは共に下方向を正とする
　よってたわみ角は片持ち梁は右上り，単純支持梁は右下がりが正となる
※最大とは絶対値の大きさを指す
※単純支持梁において片方の支点は移動支点とする

基礎方程式

\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{-M(x)}{EI}

境界条件

基本条件

\mbox{たわみ角及びたわみは端を除き梁の任意の点において連続かつなめらか}

片持ち梁

\begin{cases}\frac{dy}{dx}=0&(x\mbox{が固定支点の位置})\\y=0&(x\mbox{が固定支点の位置})\end{cases}

単純支持梁

y=0\ \ \ \ (x\mbox{が回転支点の位置})

片持ち梁

※以下の基本的な事象の重ね合わせが成り立つ．

モーメント荷重

先端モーメント荷重

f:id:ubeyuto:20210124203556j:plain:h200
曲げモーメント
M(x)=-M
たわみ角
\frac{dy}{dx}=-\frac{M}{EI}\{L-x\}
最大たわみ角
\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=0}=-\frac{ML}{EI}
たわみ
y=\frac{M}{2EI}(L-x)^2
最大たわみ
\left.y\right|_{x=0}=\frac{ML^2}{2EI}

中間モーメント荷重

f:id:ubeyuto:20210124203647j:plain:h200
曲げモーメント
M(x)=\begin{cases}-M&(L\geq x\geq0)\\0&(0> x\geq -a)\end{cases}
たわみ角
\frac{dy}{dx}=\begin{cases}-\frac{M}{EI}\{L-x\}&(L\geq x\geq0)\\-\frac{ML}{EI}&(0>x\geq-a)\end{cases}
最大たわみ角
\left.\frac{dy}{dx}\right|_{0\geq x\geq-a}=-\frac{ML}{EI}
たわみ
y=\begin{cases}\frac{M}{2EI}(L-x)^2&(L\geq x\geq0)\\\frac{ML}{2EI}\{L-2x\}&(0>x\geq-a)\end{cases}
最大たわみ
\left.y\right|_{x=-a}=\frac{ML}{2EI}\{L+2a\}

※xをBからとる場合xをx-aと置き換えよ．最大たわみ角，最大たわみは不変．
※Lの定義に注意

集中荷重

先端集中荷重

f:id:ubeyuto:20210116231300j:plain:h200
曲げモーメント
M(x)=-xW
たわみ角
\frac{dy}{dx}=-\frac{W}{2EI}\left\{L^2-x^2\right\}
最大たわみ角
\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=0}=-\frac{WL^2}{2EI}
たわみ
y=\frac{W}{6EI}\left\{x^3-3L^2x+2L^3\right\}
最大たわみ
\left.y\right|_{x=0}=\frac{WL^3}{3EI}

中間集中荷重

f:id:ubeyuto:20210116232801j:plain:h200
曲げモーメント
M(x)=\begin{cases}-xW&(L\geq x\geq0)\\0&(0> x\geq -a)\end{cases}
たわみ角
\frac{dy}{dx}=\begin{cases}-\frac{W}{2EI}\left\{L^2-x^2\right\}&(L\geq x\geq0)\\-\frac{WL^2}{2EI}&(0> x\geq-a)\end{cases}
最大たわみ角
\left.\frac{dy}{dx}\right|_{0\geq x\geq-a}=-\frac{WL^2}{2EI}
たわみ
y=\begin{cases}\frac{W}{6EI}\left\{x^3-3L^2x+2L^3\right\}&(L\geq x\geq0)\\\frac{WL^2}{6EI}\left\{2L-3x\right\}&(0> x\geq-a)\end{cases}
最大たわみ
\left.y\right|_{x=-a}=\frac{WL^2}{6EI}\left\{2L+3a\right\}

※xをBからとる場合xをx-aと置き換えよ．最大たわみ角，最大たわみは不変．
※Lの定義に注意

分布荷重

等分布荷重

f:id:ubeyuto:20210116233434j:plain:h200
曲げモーメント
M(x)=-\frac{x^2w}{2}
たわみ角
\frac{dy}{dx}=-\frac{w}{6EI}\left\{L^3-x^3\right\}
最大たわみ角
\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=0}=-\frac{wL^3}{6EI}
たわみ
y=\frac{w}{24EI}\left\{x^4-4L^3x+3L^4\right\}
最大たわみ
\left.y\right|_{x=0}=\frac{WL^4}{8EI}

歯ブラシ荷重

f:id:ubeyuto:20210116233458j:plain:h200
曲げモーメント
M(x)=\begin{cases}-\frac{x^2w}{2}&(a>x\geq0)\\-\left\{x-\frac{a}{2}\right\}aw&(L\geq x\geq a)\end{cases}
たわみ角
\frac{dy}{dx}=\begin{cases}-\frac{wa}{6EI}\left\{-\frac{x^3}{a}+a^2+3L\left\{L-a\right\}\right\}&(a>x\geq0)\\-\frac{wa}{2EI}\left\{-x^2+ax+L\left\{L-a\right\}\right\}&(L\geq x\geq a)\end{cases}
最大たわみ角
\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=0}=-\frac{wa}{6EI}\left\{a^2+3L\left\{L-a\right\}\right\}
たわみ
y=\begin{cases}\frac{wa}{24EI}\left\{\frac{x^4}{a}-\left\{4a^2+12L\left\{L-a\right\}\right\}x+a^3-6aL^2+8L^3\right\}&(a>x\geq0)\\\frac{wa}{12EI}\left\{2x^3-3ax^2-6L\left\{L-a\right\}x+4L^3-3aL^2\right\}&(L\geq x\geq a)\end{cases}
最大たわみ
\left.y\right|_{x=0}=\frac{wa}{24EI}\left\{a^3-6aL^2+8L^3\right\}

固定端最大三角分布荷重

f:id:ubeyuto:20210116234033j:plain:h200
曲げモーメント
M(x)=-\frac{x^3w_0}{6L}
たわみ角
\frac{dy}{dx}=-\frac{w_0}{24LEI}\left\{L^4-x^4\right\}
最大たわみ角
\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=0}=-\frac{w_0L^3}{24EI}
たわみ
y=\frac{w_0}{120LEI}\left\{x^5-5L^4x+4L^5\right\}
最大たわみ
\left.y\right|_{x=0}=\frac{w_0L^4}{30EI}

自由端最大三角分布荷重

f:id:ubeyuto:20210116234048j:plain:h200
曲げモーメント
M(x)=-\frac{w_0}{6L}\left\{3Lx^2-x^3\right\}
たわみ角
\frac{dy}{dx}=-\frac{w_0}{24LEI}\left\{3L^4-4Lx^3+x^4\right\}
最大たわみ角
\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=0}=-\frac{w_0L^3}{8EI}
たわみ
y=\frac{w_0}{120LEI}\left\{11L^5-15L^4x+5Lx^4-x^5\right\}
最大たわみ
\left.y\right|_{x=0}=\frac{11w_0L^4}{120EI}

単純支持梁

※以下の基本的な事象の重ね合わせが成り立つ．

モーメント荷重

f:id:ubeyuto:20210116235059j:plain:h200
曲げモーメント
M(x)=\begin{cases}\frac{-Mx}{L}&(0\leq x< a)\\\frac{M}{L}\left\{L-x\right\}&(a< x\leq L)\end{cases}
たわみ角
\frac{dy}{dx}=\begin{cases}\frac{M}{6LEI}\left\{3x^2-L^2+3b^2\right\}&(0\leq x \leq a)\\\frac{M}{6LEI}\left\{3(L-x)^2-L^2+3a^2\right\}&(a< x\leq L)\end{cases}
最大たわみ角
\frac{dy}{dx}=\frac{M}{3LEI}\left\{a^2-ab+b^2\right\}\ \ \ \ (x=a)
たわみ
y=\begin{cases}\frac{M}{6LEI}\left\{x^3-\left\{L^2-3b^2\right\}x\right\}&(0\leq x \leq a)\\\frac{M}{6LEI}\left\{-(L-x)^3+\left\{L^2-3a^2\right\}\left\{L-x\right\}\right\}&(a< x\leq L)\end{cases}
最大たわみ
y_{max}=\begin{cases}-\frac{M}{3LEI}\left(\frac{L^2-3b^2}{3}\right)^{\frac{3}{2}}&(x=\sqrt{\frac{L^2-3b^2}{3}})&(a>b)\\\pm\frac{ML^2}{72\sqrt{3}EI}&(x=\frac{L}{2\sqrt{3}}\ \mathrm{or}\ L-\frac{L}{2\sqrt{3}})&(a=b)\\\frac{M}{3LEI}\left(\frac{L^2-3a^2}{3}\right)^{\frac{3}{2}}&(x=L-\sqrt{\frac{L^2-3a^2}{3}})&(a< b)\end{cases}

※絶対値の大きさであるため実数としての大きさを問われた場合この中で正のものを選べ

集中荷重

f:id:ubeyuto:20210116235003j:plain:h200
曲げモーメント
M(x)=\begin{cases}\frac{xbW}{L}&(0\leq x\leq a)\\ \frac{\left\{L-x\right\}aW}{L}&(a< x\leq L)\end{cases}
たわみ角
\frac{dy}{dx}=\begin{cases}\frac{bW}{6LEI}\left\{-3x^2+L^2-b^2\right\}&(0\leq x \leq a)\\-\frac{aW}{6LEI}\left\{-3(L-x)^2+L^2-a^2\right\}&(a< x\leq L)\end{cases}
最大たわみ角
\frac{dy}{dx}_{max}=\begin{cases}\frac{bW}{6LEI}\left\{L^2-b^2\right\}&(x=0)&(a>b)\\\pm\frac{WL^2}{16EI}&(x=0\ \mathrm{or}\ L)&(a=b)\\-\frac{aW}{6LEI}\left\{L^2-a^2\right\}&(x=L)&(a< b)\end{cases}
たわみ
y=\begin{cases}\frac{bW}{6LEI}\left\{-x^3+\{L^2-b^2\}x\right\}&(0\leq x \leq a)\\\frac{aW}{6LEI}\left\{-(L-x)^3+\{L^2-a^2\}\{L-x\}\right\}&(a< x\leq L)\end{cases}
最大たわみ
y_{max}=\begin{cases}\frac{bW}{3LEI}\left(\frac{L^2-b^2}{3}\right)^{\frac{3}{2}}&(x=\sqrt{\frac{L^2-b^2}{3}})&(a>b)\\\frac{WL^3}{48EI}&(x=\frac{L}{2})&(a=b)\\\frac{bW}{3LEI}\left(\frac{L^2-a^2}{3}\right)^{\frac{3}{2}}&(x=L-\sqrt{\frac{L^2-a^2}{3}})&(a< b)\end{cases}

分布荷重

等分布荷重

f:id:ubeyuto:20210116235824j:plain:h200
曲げモーメント
M(x)=\frac{w}{2}\left\{Lx-x^2\right\}
たわみ角
\frac{dy}{dx}=\frac{w}{24EI}\left\{4x^3-6Lx^2+L^3\right\}
最大たわみ角
\frac{dy}{dx}_{max}=\pm\frac{wL^3}{24EI}\ \ \ \ (x=0\ \mathrm{or}\ L)
たわみ
y=\frac{w}{24EI}\left\{x^4-2Lx^3+L^3x\right\}
最大たわみ
y_{max}=\frac{5wL^4}{384EI}\ \ \ \ (x=\frac{L}{2})

三角分布荷重

f:id:ubeyuto:20210116235837j:plain:h200
曲げモーメント
M(x)=\frac{w_0}{6L}\left\{L^2x-x^3\right\}
たわみ角
\frac{dy}{dx}=\frac{w_0}{360LEI}\left\{15x^4-30L^2x^2+7L^4\right\}
最大たわみ角
\frac{dy}{dx}_{max}=-\frac{w_0L^3}{45EI}\ \ \ \ (x=L)
たわみ
y=\frac{w_0}{360LEI}\left\{3x^5-10L^2x^3+7L^4x\right\}
最大たわみ
y_{max}=\frac{w_0L^4}{675EI}\sqrt{1-\frac{2\sqrt{30}}{15}}\{3+\sqrt{30}\}\approx0.00652218\frac{w_0L^4}{EI}\ \ \ \ (x=L\sqrt{1-\frac{2\sqrt{30}}{15}}\approx0.51933L)

突き出し梁

左右対称集中荷重

f:id:ubeyuto:20210124204636j:plain:h200
曲げモーメント
M(x)=\begin{cases}-xW&(0\leq x< a)\\-aW&(a\leq x\leq a+b)\\-\{2a+b-x\}W&(a+b< x\leq 2a+b)\end{cases}
たわみ角
\frac{dy}{dx}=\begin{cases}\frac{W}{2EI}\left\{(a-x)^2-2a\{a-x\}-ab\right\}&(0\leq x< a)\\\frac{Wa}{2EI}\{2x-2a-b\}&(a\leq x\leq a+b)\\\frac{W}{2EI}\left\{-(a+b-x)^2-2a\{a+b-x\}+ab\right\}&(a+b< x\leq 2a+b)\end{cases}
最大たわみ角
\frac{dy}{dx}_{max}=\pm\frac{Wa}{2EI}\{a+b\}\ \ \ \ (x=0\ \mathrm{or}\ 2a+b)
たわみ
y=\begin{cases}\frac{W}{6EI}\left\{-(a-x)^3+3a(a-x)^2+3ab\{a-x\}\right\}&(0\leq x< a)\\\frac{Wa}{2EI}\left\{x^2-\{2a+b\}x+a^2+ab\right\}&(a\leq x\leq a+b)\\\frac{W}{6EI}\left\{(a+b-x)^3+3a(a+b-x)^2-3ab\{a+b-x\}\right\}&(a+b< x\leq 2a+b)\end{cases}
最大たわみ
y_{max}=\frac{Wa^2}{6EI}\{2a+3b\}